\(f:{\Bbb R}\times\Omega\to{\Bbb R}^d\) est continue et localement lipschitzienne en sa seconde variable : $$\begin{align}&\forall T\geqslant0,\forall K\subset_c\Omega,\forall t\in[0,T],\forall x,y\in K,\\ &\lVert f(t,x)-f(t,y)\rVert\leqslant C\lVert x-y\rVert\end{align}$$
$$\Huge\iff$$
existence : $$\begin{align}&\forall x_0\in\Omega,\exists t_0\gt 0,\exists u\in\mathcal C^1([0,t_0],\Omega),\forall t\in[0,t_0],\\ &u^\prime(t)=f(t,u(t))\end{align}$$
unicité : $$\begin{align}&\forall T\gt 0,\forall K\subset_c\Omega,\\ &\forall \Big(u,v\in\mathcal C^1([0,T],K),u^\prime(t)=f(t,u(t)),v^\prime(t)=f(t,v(t))\Big),\\ &\lVert u-v\rVert_\infty\leqslant C\lVert u(0)-v(0)\rVert\end{align}$$ avec \(C\) dépendant seulement de \(T\) et de \(K\)
